1. УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
Пояснительная записка
Актуальность изучения учебной дисциплины в вузе и ее роль в
профессиональной подготовке выпускника вуза
Для характеристики различных процессов, происходящих в природе и
технике, все шире используется математический аппарат, разрабатываются
специальные математические методы. Математические методы позволяют
дать унифицированный научный подход к изучению различных явлений
реального мира путем составления их математических моделей, которые
во многих случаях формализуются в рамках одних и тех же
математических структур. Развитие количественных методов анализа
реальных физических процессов показало, что одна и та же физическая
величина (свойство) в разных точках исследуемого объекта и даже в одной
в разные моменты времени может принимать различные значения, и
поэтому при математическом описании этих величин приходится
рассматривать функции, зависящие от времени и пространственных
переменных.
Инженер по автоматизации технологических процессов и производств
должен владеть основами математического моделирования и его
реализации в компьютерных информационных технологиях, чтобы быть
конкурентоспособным на рынке труда и выдерживать темпы научно-
технического прогресса. Эти процессы, как уже отмечалось, являются
динамическими и зависят от многих факторов и, таким образом,
описываются дифференциальными уравнениями относительно функций
нескольких переменных, т. е. дифференциальными уравнениями с
частными производными.
Постоянно возрастающая роль математических моделей во многих
областях естественных и технических наук требует от современного
инженера владения рядом специальных разделов математики. Уравнения
математической физики представляют один из таких разделов.
Дисциплина «Уравнения математической физики» предназначена для
ознакомления студентов с классическими методами интегрирования
уравнений в частных производных второго порядка, к которым приводит
ряд конкретных физических и технических задач. Как правило, каждое из
таких уравнений имеет бесчисленное множество частных решений, и
задача уравнений математической физики состоит в отыскании решений
уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым
дополнительным – краевым (начальным и граничным) условиям.
Эффективная работа инженера по автоматизации в современной
компьютерной среде невозможна без тесной связи практики и теории, без
знания математических методов моделирования технологических
процессов. Такой подход позволяет студентам самостоятельно
моделировать физические явления и процессы, применяемые в
производстве.
Современная подготовка инженера по автоматизации основана на
тесной связи теории и практики, на знании методов математического
описания технологических процессов и умении анализировать полученные
математические модели с использованием возможностей современных
компьютерных программ. Дисциплине «Уравнения математической
физики» как классическому курсу математического описания
технологических процессов отводится в этой связи одно из центральных
мест.
Цели и задачи учебной дисциплины
Цель курса – ознакомить студентов с основными понятиями и
методами теории дифференциальных уравнений с частными
производными и выработать навыки решений стандартных краевых задач
математической физики и, как результат, подготовить студентов к
последующему изучению более сложных задач моделирования, к
выполнению учебной и научно-исследовательской работы.
Задачи преподавания уравнений математической физики состоят в
выяснении сущности научного подхода к описанию и исследованию
реальных физических и производственных процессов; роли
математических методов в этом описании и в системе естественнонаучных
дисциплин в целом как способе познания окружающего мира; в развитии у
обучаемых способности к логическому и алгоритмическому мышлению, а
также знаний, умений и приемов исследования и решения математически
формализованных задач.
Требования к уровню освоения содержания учебной дисциплины
В результате изучения курса «Уравнения математической физики»
студент должен иметь представление:
о месте уравнений математической физики в системе
естествознания;
о типах задач, решаемых с помощью уравнений
математической физики;
знать и уметь использовать:
основные методы решения дифференциальных
уравнений с частными производными, а также применять эти
знания и методы к описанию и решению прикладных задач;
методы системного и сравнительного анализа;
владеть:
исследовательскими навыками применения методов
математического моделирования динамических технологических
процессов для решения теоретических и практических задач,
что в совокупности позволит сочетать академические и социально-
личностные компетенции для успешной профессиональной и социальной
деятельности.
Структура содержания учебной дисциплины
Дисциплина базируется на программе курса высшей математики. На
изучение данной дисциплины учебным планом специальности
1-53 01 01 «Автоматизация технологических процессов и производств»
предусмотрено 54 часа, в том числе 36 аудиторных, из них 18 часов
лекций, 18 часов практических занятий.
Содержание дисциплины
Введение
Основные понятия курса уравнений математичекой физики. Примеры.
Основные физические процессы и их уравнения. Постановка краевых
задач. Понятие корректной постановки задачи. Классификация
дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными. Характеристическое уравнение.
Основные типы уравнений.
Гиперболические уравнения
Вывод уравнения поперечных колебаний струны. Постановка
основных краевых задач. Решение задачи Коши для уравнения колебания
струны методом характеристик. Формула Даламбера. Физический смысл
формулы Даламбера
*
. Общая формальная схема метода разделения
переменных решений смешанных задач для гиперболических уравнений.
Решение смешанных задач методом разделения переменных (метод
Фурье). Задача Штурма – Лиувилля
*
.
Параболические уравнения
Вывод уравнения теплопроводности. Постановка краевых задач.
Теорема о максимальном и минимальном значениях решений уравнения
теплопроводности
*
. Общая формальная схема метода разделения
переменных решений смешанных задач для параболических уравнений.
Функция источника
*
. Решение краевых задач с помощью преобразований
Лапласа
*
и Фурье
**
.
Эллиптические уравнения
Определение и свойства гармонических функций. О единственности
решений задач Дирихле и Неймана
*
. Функция Грина
*
. Метод функции
Грина
*
. Решение задач Дирихле и Неймана
*
. Физический смысл функции
Грина
*
. Метод фиктивных зарядов построения функции Грина задачи
Дирихле
**
.
Примерная тематика практических занятий
1. Уравнения с частными производными первого порядка с двумя
независимыми переменными. Приведение к каноническому виду
дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными. Характеристическое уравнение.
Характеристики.
2. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения по
формуле Даламбера. Метод характеристик.
3. Метод разделения переменных решения задачи о свободных
колебаниях ограниченной струны.
4. Метод преобразования Фурье решения задачи Коши для уравнения
тепловодности.
5. Решение краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона в круге
методом разделения переменных.
6. Метод сеток.
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Эффективная организация самостоятельной работы студентов -
важнейшее условие качества и эффективности обучения. Самостоятельная
работа студентов в основном осуществляется посредством текущих заданий
по практическим занятиям, выдачи расчетно-графических заданий (типовых
расчетов) по избранным темам курса, теоретических тем, выносимых на
самостоятельное обучение, а также в рамках научно-исследовательской
работы студентов. Здесь также рекомендуется уровневое методическое
обеспечение, причем задания для самостоятельной работы целесообразно
выдавать не менее чем на недельный срок. Руководство самостоятельной
работой осуществляется главным образом через консультации и
самоподготовку студентов под контролем преподавателя, что должно
обеспечиваться в соответствии с учебными планами.
Примерный перечень тем для самостоятельной работы
1. Корректные и некорректные краевые задачи. Пример Адамара.
Теорема Коши – Ковалевской.
2. Задача Коши на прямой для неоднородного волнового уравнения.
Обобщенная задача Коши. Формула Римана.
3. Понятие об обобщенных решениях. Задача Гурса.
4. Применение метода характеристик к изучению колебаний в
электрических линиях.
5. Формула Пуассона.
6. Функции Бесселя.
7. Неоднородное уравнение теплопроводности. Функция мгновенного
точечного источника тепла.
8. Распространение тепла в цилиндре конечных и бесконечных
размеров.
9. Ньютоновский потенциал. Потенциалы простого и двойного слоя.
ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМЫХ СРЕДСТВ ДИАГНОСТИКИ
КАЧЕСТВА ЗНАНИЙ
Для текущего контроля и самоконтроля знаний, умений и навыков
студентов по дисциплине можно использовать следующий
инструментарий:
– тестирование по темам и разделам дисциплины, в том числе и с
использованием компьютерных технологий;
– письменная контрольная работа;
– устный и письменный опросы.
Главной формой контроля усвоения курса является зачет (в устной
форме, письменной, письменной с последующим устным собеседованием,
в форме теста). Для большей эффективности контролирующих
мероприятий целесообразно использовать уровневую технологию
контроля качества обучения, при этом уровни могут быть скрытые, но
непременным условием должно быть наличие в каждом уровневом
задании хотя бы одного простого ответа (базового уровня).